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Zwei Vektoren zu einem Normalenvektor verbinden
[i]auch genannt: [b]Kreuzprodukt[/b][/i]<br><br>
[title=2]Einleitung[/title]<br><br>
Das Thema Vektorprodukt wird in der Schule zumeist erst gegen Ende der Unterrichtsreihe "Vektorrechnung" durchgenommen.
Nichtsdestotrotz kann man es aber immer wieder verwenden, sobald regelmäßiger mit Ebenen gerechnet wird.
Mit Hilfe des Vektorprodukts lässt sich nämlich zu jeder Ebene schnell ein Normalenvektor ...
Vektor, vektoriell, Länge, Betrag, Vektorprodukt, Kreuzprodukt, Normale, Normalenvektor, Ebene, Sinus, Phi
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Grundsätzliches zu Vektoren
Jeder Vektor enthält zwei wichtige Informationen:<br>
[ul=circle]
[li]Seine [b]Länge[/b] (in Bezug auf Vektoren gewöhnlich als [b]Betrag[/b] bezeichnet)[/li]
[li]Eine [b]Richtung[/b][/li]
[/ul]<br><br>
Vektoren werden z.B. in der Physik verwendet, um Zugkräfte darzustellen.
Dabei stellt der Vektor die Richtung dar, in die man zieht (=Richtung des ...
Vektor, vektoriell, Länge, Betrag, Richtung, Äquivalenzklasse, Gegenvektor, Ortsvektor, Nullvektor, Einheitsvektor
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Wie man aus zwei Punkten einen Vektor errechnen kann
[title=2]Einleitung[/title]<br><br>
Das errechnen eines Vektors aus zwei vorgegebenen Punkten ist eine der häufigsten Aufgaben in der Vektorrechnung - aber glücklicherweise wohl auch die Einfachste.<br>
Um den gesuchten Vektor zu erhalten, braucht man zuerst lediglich die beiden Ortsvektoren ...
Vektor, vektoriell, Punkt
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Vektoren addieren, subtrahieren, sowie die geometrische Bedeutung
[title=2]Einleitung[/title]<br><br>
Vektoren kann man nahezu genauso einfach wie reelle Zahlen addieren ...subtrahieren.
Dazu addiert bzw. subtrahiert man die Koordinatenachsen aller beteiligter Vektoren einzeln und nacheinander.<br><br><br>
[title=2]Formel[/title]<br><br>
[b]Allgemein (Addition):[/b] [imgMiddle=formel_allgemein_addition.gif]vektor a+vektor b=(a1+b1_a2+b2_..._an+bn)[/imgMiddle]<br><br>
[b]Allgemein (Subtraktion):[/b] [imgMiddle=formel_allgemein_subtraktion.gif]vektor a-vektor b=(a1-b1_a2-b2_..._an-bn)[/imgMiddle]<br><br>
[b]Beispiel (Addition):[/b] [imgMiddle=addition_beispiel.gif](5+1_6+22_10+111)=(6_28_121)[/imgMiddle]<br><br>
[b]Beispiel (Subtraktion):[/b] [imgMiddle=subtraktion_beispiel.gif](9-3_18-9_27-27)=(6_9_0)[/imgMiddle]
<br><br><br>
[title=2]Geometrisches ...
Vektor, vektoriell, Vektoraddition, addieren, Vektorsubtraktion, subtrahieren, Wege gehen, Geometrie, geometrisch, Bedeutung, Verständnis
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Berechnung und Hinweise zum Skalarprodukts
[i]auch genannt: inneres Produkt[/i]<br><br><br>
[title=2]Einleitung[/title]<br><br>
Beim Skalarprodukt wird nicht, wie bei der Skalarmultiplikation, ein Vektor mit einem Skalar multiplziert, sondern stattdessen ein Vektor mit einem Vektor. Das Ergebnis dieser Rechnung - also ...
Vektor, vektoriell, Länge, Betrag, Skalar, Produkt, Skalarprodukt, inneres, Produkt, Winkel, Berechnung, Vektorprodukt, Kreuzprodukt, Lagebeziehung, senkrecht, orthogonal, 90, rechter, Winkel
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Die Sonderform des Wendepunktes finden und verstehen
[title=2]Einleitung[/title]
Der Sattelpunkt ist eine Sonderform des Wendepunktes. Er zeichnet sich dadurch aus, dass der Graph beim Sattelpunkt augenscheinlich parallel zur x-Achse verläuft. Es bildet sich also sozusagen eine Treppenstufe.
Hier mal ein bildlicher Vergleich zwischen Wendepunkt (zuerst) und Sattelpunkt (danach):
[align=center]
[b]Wendepunkt:[/b]
[img=wendepunkt.gif]Wendepunkt[/img]
[b]Sattelpunkt:[/b]
[img=sattelpunkt.gif]Sattelpunkt[/img]
[/align]
[title=2]Sattelpunkt finden[/title]
Der Sattelpunkt errechnet sich nahezu ...
Wendepunkt, Sattelpunkt, Differentialrechnung, Ableitung
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Wie man die Länge(=Betrag) eines Vektors errechnet
Die Länge eines Vektors kann man mit Hilfe des Satzes von Pythagoras errechnen.<br><br><br>
[align=center]
[img=vektor_a.gif]Vektor a[/img]
<span style="padding-right:15px;"></span>
[img=kosys_vektor_a_laenge.gif]Koordinatensystem mit Vektor a[/img]
[/align]<br><br><br>
[title=2]Schreibweise[/title]<br><br>
Die Länge eines Vektors wird gewöhnlich als "Betrag" bezeichnet, ...
Vektor, vektoriell, Punkte
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Wie man den Winkel zwischen zwei Vektoren errechnet
Mit Hilfe des Skalarprodukts ist es möglich, den Winkel zwischen zwei Vektoren zu errechnen. Dazu muss man nur die bereits bekannte Regel<br>
[align=center]
[img=skalarprodukt_regel.gif]vektor a*vektor b=betrag(vektor a)*betrag(vektorb)*cos(phi)[/img]
[/align]<br>
nach Cosinus umstellen:<br>
[align=center]
[img=skalarprodukt_regel_umgestellt.gif](vektor a*vektor b)/(betrag(vektor a)*betrag(vektor b))=cos(phi)[/img]
[/align]<br>
Es gilt ...
Vektor, vektoriell, Winkel, Alpha, Beta
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Wie man den Abstand zweier Punkt errechnet
[title=2]Einleitung[/title]<br><br>
Der Abstand zweier Punkte voneinander ist leicht berechnet. Alles was man tuen muss, ist nur einen Vektor zu bilden, der beide Punkte verbindet und von diesem Vektor dann die Länge zu berechnen.<br><br><br>
[title=2]Formel[/title]<br><br>
[b]Allgemein:[/b]<br>
[align=center]
[img=formel_allgemein_pf.gif]P(P_1|P_2|...|P_n), F(F_1|F_2|...|F_n)[/img]<br><br>
[img=formel_allgemein_vektor_pf.gif]Vektor PF=(F_1-P_1|F_2-P_2|...|F_n-P_n)[/img]<br><br>
[img=formel_allgemein_betrag_vektor_pf.gif]|PF|=wurzel((F_1-P_1)^2 + (F_2-P_2)^2 ...
Vektor, vektoriell, Gerade, Ebene, Punkt, Abstand, Entfernung, Länge, Laenge
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DidYouKnow?!
Insektenanzahl
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...Durchschnitt kann man auf zwei Quadratkilometern unbebauter Fläche mehr Insekten finden als es Menschen auf der Erde gibt.
Statistiken, Rekorde, Kurioses, Tiere & Natur
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Leichter abzuleiten als man denkt!
[title=2]Exponentialfunktionen ableiten[/title]
Für die Ableitung von Exponentialfunktionen gelten folgende Regeln (dargestellt werden die Funktion f(x) sowie ihre Ableitung f ' (x)):
[align=center]
[mimetex=f(x)=e^(kx)... f'(x)=k*e^(kx)]
f(x) \hspace2=\hspace2 ...e^{kx}
[/mimetex]
[mimetex=f(x)=k^(x)... f'(x)= ' k^(x)]
f(x) \hspace2=\hspace2 k^{x}
\hspace{10}\rightarrow\hspace{10}
f'(x) \hspace2=\hspace2 ln\hspace{1}k \hspace2\cdot\hspace2 k^{x}
[/mimetex]
[/align]
[title=2]Logarithmusfunktionen ableiten[/title]
Für die Ableitung von Logarithmusfunktionen gelten folgende Regeln (dargestellt ...
Logarithmus, Exponent, Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion, Funktion, Ableitung, Differentialrechnung
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DidYouKnow?!
Erektionsangst
42
...keine guten Sexualpartner, denn diese haben Angst davor, eine Erektion zu sehen oder auch nur daran zu denken.
Männer können ...
Menschen & Gesellschaft, Liebe & Sex, Krankheiten & Phobien, Kurioses
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Was der Normalenvektor ist und wie man ihn bestimmt
[title=2]Einleitung[/title]<br><br>
Der Normalenvektor ist derjenige Vektor, der senkrecht (also orthogonal) zu etwas liegt. Das kann ...bei Ebenen lässt sich einigermaßen eindeutig bestimmen, wie der Normalenvektor aussieht und nur bei Ebenen ist er wirklich nützlich.<br>
Da der Normalenvektor orthogonal z.B. zu einer Ebene liegt, zählt einzig und ...
Vektor, vektoriell, Normalenvektor, Normale, senkrecht, rechter, Winkel, 90, Grad, neunzig, orthogonal
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Schnittpunkte berechnen und ähnliches
Vektor, vektoriell, Schnittpunkt, Schnittgerade
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Wie man vektorielle Geraden bildet
[titel=1]Einleitung[/titel]
Man kann Geraden auch mit Hilfe von Vektoren darstellen. Dazu zerlegt man die Geraden zunächst in zwei Teile:<br>
[ul=circle]
[li]Ein [i]beliebiger Punkt auf der Geraden[/i]. Dieser Punkt dient dazu, die Position der Geraden im Raum zu bestimmen. Von hier aus wird die weitere Ausrichtung festgelegt.<br>
Der Vektor, der auf diesen Punkt zeigt, wird als [b]"Stützvektor"[/b] bezeichnet.[/li]
[li]Ein ...
Vektor, vektoriell, Gerade, Strecke, lambda, Stützvektor, Richtungsvektor, Richtung, Position, Punkt
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(Anrufbeantworterspruch) Das elektronische Versandhaus Teeleköm
"Guten Tag, Sie sprechen mit dem elektronischen Versandhaus der Teeleköm. Gerade haben Sie mit dieser Nummer das interaktive Produkt 183c zum aktuellen Sonderpreis von nur EUR 0.05 ausgewählt. Prima! Im Umfang ...
Anrufbeantworter, Spruch, Versandhaus, elektronisch
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Wie man durch Gleichsetzung bestimmt, ob ein Punkt auf einer vektoriellen Geraden liegt
...Artikel zur Darstellung wurde bereits die allgemeine Formel einer vektoriellen Geraden beschrieben:<br><br>
[align=center]
[img=einleitung_geraden_darstellung.gif]g: vektor x=vektor s+lambda*vektor r[/img]
[/align]<br>
Bei dieser Formel steht [img=einleitung_vektor_x.gif]vektor x[/img] für einen Vektor, ...
Vektor, vektoriell, Punkt, Gerade, auf, in, Lagebeziehung, Lage, lambda
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Wie man den Winkel zwischen einem Vektor und einer Geraden errechnet
[title=2]Vorgehen[/title]<br><br>
Um den Winkel zwischen Vektor und Gerade zu errechnen muss man nur den gegebenen Vektor und den Richtungsvektor der Geraden verwenden. Der Winkel zwischen diesen beiden Vektoren ist auch der Winkel zwischen Vektor und Gerade.<br>
Die Rechnung ...
Vektor, vektoriell, Gerade, Winkel, Alpha, Beta
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Wie man den Abstand eines Punktes von einer Ebene bestimmt
[title=2]Einleitung[/title]<br><br>
Den Abstand eines Punktes von einer Ebene zu errechnen geht schnell.
Alles was man ...Hessesche Normalenform der Ebene zu bilden und dann den Punkt darein einzusetzen.<br><br><br>
[title=2]Formel[/title]<br><br>
[b]Allgemein:[/b]<br><br>
[align=center]
[color=blue][i]
Gegeben ist ein Punkt und eine Ebene (in Koordinatenform).<br>
Aus der Ebenengleichung kann man den Normalenvektor n entnehmen.<br>
Da die Länge vom Normalenvektor ohnehin für die ...
Vektor, vektoriell, Gerade, Ebene, Punkt, Abstand, Entfernung, Länge, Laenge
